Ordet som upptar oss i första hand, begränsar, vi kan säga att det är ett ord som kommer etymologiskt sett från latin. I synnerhet härrör den från substansen "limes", som kan översättas som "kant eller kant".

Begreppet gräns har flera betydelser. Det kan vara en linje som skiljer två territorier, från ett slut till vilket en viss tid kommer eller från en begränsning eller begränsning.

För matematik är en gräns en fast storlek som villkoren för en oändlig magnitudnivå närmar sig varje gång.

Funktionen, under tiden, matchar också den tidigare termen med avseende på dess ursprung. Och på liknande sätt kommer det från latin, mer exakt från "functio", vilket är synonymt med "funktion eller utförande".

Funktion, å andra sidan, är ett koncept som hänvisar till olika problem. I detta fall är vi intresserade av definitionen av matematisk funktion (förhållandet f av elementen i en uppsättning A med elementen i en uppsättning B ).

Expressionsgränsen för en funktion används i den matematiska differentialberäkningen och hänvisar till närheten mellan ett värde och en punkt . Till exempel: om en funktion f har en X- gräns vid en punkt t betyder det att värdet på f kan vara så nära X som önskat, med punkter som är tillräckligt nära t, men olika.

Inom vad som skulle vara gränsen för funktionen, skulle vi behöva markera existensen av en mycket viktig teori. Vi hänvisar till teorin om smörgåsen, även känd som sandwichteorem, som har sitt ursprung i tiden för den grekiska fysikern Archimedes, som använde den som matematiker Eudoxus av Cnidus, som var en lärjunge av filosofen Platon.

Det anses emellertid att den sanna formulatören är ingen annan än den tyska matematikern och astronomen Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), som har gått ner i historien av kvalitén "Matematikprinsen".

Denna sats måste vi säga att det som ska fastställas är att om två funktioner väljs för samma gräns i förhållande till en viss punkt, kommer en annan funktion som upprättas mellan dem också att dela med dem samma gräns.

Inom ramen för matematisk analys och beräkning, och mer exakt vad gäller demonstrationer, är vi vanligtvis tillgripa användningen av sandwichteori, som även kallas stolen och de två polisernas ståndpunkt.

Funktionsgränserna analyserades redan under sjuttonhundratalet, men modern notering uppstod under det artonde århundradet från olika specialists arbete. Det sägs att Karl Weierstrass var den första matematiker som föreslog en exakt teknik, mellan 1850 och 1860.

Kort sagt betyder en funktion f med gränsen X i t att denna funktion tenderar mot sin gräns X nära t, med f (x) så nära X som möjligt men att göra x annorlunda än t . I alla fall är tanken på närhet inte exakt, så en formell definition kräver fler element.